Det gyldne forhold er en andel, der er blevet betragtet som den mest perfekte og harmoniske siden oldtiden. Det danner grundlaget for mange gamle strukturer, fra statuer til templer, og er meget almindeligt i naturen. Samtidig udtrykkes denne andel i overraskende elegante matematiske konstruktioner.
Instruktioner
Trin 1
Den gyldne del er defineret som følger: det er en sådan opdeling af et segment i to dele, at den mindre del henviser til den større på samme måde som den større del henviser til hele segmentet.
Trin 2
Hvis længden af hele segmentet tages som 1, og længden af størstedelen tages som x, vil den søgte andel blive udtrykt ved ligningen:
(1 - x) / x = x / 1.
Ved at multiplicere begge sider af proportionen med x og overføre vilkårene får vi den kvadratiske ligning:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Trin 3
Ligningen har to virkelige rødder, hvoraf vi naturligvis kun er interesserede i det positive. Det er lig med (√5 - 1) / 2, hvilket er omtrent lig med 0, 618. Dette tal udtrykker det gyldne forhold. I matematik betegnes det oftest med bogstavet φ.
Trin 4
Nummeret φ har et antal bemærkelsesværdige matematiske egenskaber. For eksempel ses det selv fra den oprindelige ligning, at 1 / φ = φ + 1. Faktisk er 1 / (0, 618) = 1, 618.
Trin 5
En anden måde at beregne det gyldne forhold på er at bruge en uendelig brøkdel. Startende fra enhver vilkårlig x kan du sekventielt konstruere en brøkdel:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etc.
Trin 6
For at lette beregninger kan denne brøk repræsenteres som en iterativ procedure, hvor du skal beregne det næste trin, skal du tilføje en til resultatet af det forrige trin og dele en med det resulterende tal. Med andre ord:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Denne proces konvergerer, og dens grænse er φ + 1.
Trin 7
Hvis vi udskifter beregningen af det gensidige med udtrækningen af kvadratroden, det vil sige, vi udfører en iterativ sløjfe:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), så forbliver resultatet uændret: uanset det oprindeligt valgte x konvergerer gentagelserne til værdien φ + 1.
Trin 8
Geometrisk kan det gyldne forhold konstrueres ved hjælp af en almindelig femkant. Hvis vi tegner to skærende diagonaler i den, vil hver af dem dele den anden strengt i det gyldne forhold. Denne observation tilhører ifølge legenden Pythagoras, som var så chokeret over det fundne mønster, at han betragtede den korrekte fempunkts stjerne (pentagram) for at være et helligt guddommeligt symbol.
Trin 9
Årsagerne til, at det er det gyldne forhold, der synes at være en person mest harmonisk, er ukendt. Eksperimenter har imidlertid gentagne gange bekræftet, at de emner, der blev instrueret i at opdele segmentet i to ulige dele, smukkest gør det i proportioner meget tæt på det gyldne forhold.
